Proporcionalidad

La proporcionalidad es una relación o razón entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones igualdad entre las magnitudes.

Proporcionalidad directa

Dadas dos variables “x” e “y”, “y” es (directamente) proporcional a “x” (“x” e “y” varían directamente, o “x” e “y” están en variación directa) si hay una constante “k” distinta de cero tal que:

Y=k x

La relación a menudo se denota

Y por x

Y la razón constante

K=y/x

Es llamada constante de proporcionalidad.

Proporcionalidad inversa

Considere dos variables que se dice son “inversamente proporcionales” entre sí. Si todas las otras variables se mantienen constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuirá si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá siempre igual.

 Bibliografía 

Magnitud: es una propiedad que permite que puedan ser medidos (expresados por números reales no negativos y usando la unidad pertinente).

Proporcionalidad directa

La proporcionalidad es una de las aplicaciones más interesantes  y de mayor uso de los números racionales. La proporcionalidad directa se realiza el cálculo con una regla de tres simple.

                    

Proporcionalidad Directa

PROPORCIONALIDAD.

La proporcionalidad es un a relación o razón entre magnitudes medidles.

Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en

La población.

Proporcionalidad directa:

Dados dos variables x e y , y es (directamente) proporcional a x  ( x e y varían  directamente, o x e y están en variación directa ) si hay una constante  que distinta de cero tal que:

La relación a menudo se denota

Y la razón constante

 

Es llamada  constante de proporcionalidad

Ejemplos de proporcionalidad directa.

Un metro de cinta vale $ 24. ¿Cuanto valdrán 3m, 6m ,10m, 12m?

Si 1m vale $ 24

3m valdrán tres veces $ 24

Es decir: 3x4=72

METROS	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
PRECIO	24	48	72	96	120	144	168	192	216	240	264	288

Bibliografía:

                    

Proporcionalidad directa

 Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número.

Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente valor de la primera magnitud, se obtiene siempre el mismo valor (constante). A esta constante se le llama razón de proporcionalidad directa.

Para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa se puede utilizar:

Bibliografía:

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple…  cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte… de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionables.

Ejemplos:

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo ¿Cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales.

Los productos 3 por 24= 6 por 12= 9 por 8= 72

Por tanto 18 por x= 72

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

Aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y su producto será siempre igual.

Bibliografía

Magnitudes directamente proporcionales.

Dos magnitudes  son directamente proporcionales si :

magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número.

Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente valor de la primera magnitud, se obtiene siempre el mismo valor

*ejercicios :

Un kilo de harina cuesta 0.5 € si compramos 4 Kilos de harina nos costarán 2 € luego las magnitudes kg. de harina y precio son dos magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la misma proporción. Al multiplicarse por 4 la cantidad de harina se multiplica por 4 el precio.

*solución

 

El precio de tres bolígrafos es de 4.5 € ¿Cuánto cuestan 7 bolígrafos?

 

Proporcionalidad inversa.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.

Regla de tres simple inversa.

Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se da a una magnitud calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud.

En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuánto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

Bibliografia

El papel arrugado (COE)

Mi carácter impulsivo, me hacía reventar en cólera a la menor provocación. La mayor parte de las veces, después de uno de estos incidentes, me sentía avergonzado y me esforzaba por consolar a quien había dañado.

Un día, un Psicólogo, quien me vio dando excusas después de una explosión de ira, me entregó un papel liso. Y entonces me dijo:
¡ESTRÚJALO!

Asombrado, obedecí e hice una bola con el papel.

Luego me dijo: Ahora déjalo como estaba antes.
Por supuesto que no pude dejarlo como estaba.
Por más que traté, el papel quedó lleno de arrugas.

Entonces el psicólogo dijo: “El corazón de las personas es como ese papel. La impresión que dejas en ese corazón que lastimaste, será tan difícil de borrar como esas arrugas en el papel.”
Aunque intentemos enmendar el error, ya estará “marcado”.

Por impulso no nos controlamos y sin pensar arrojamos palabras llenas de odio y rencor, y luego, cuando pensamos en ello, nos arrepentimos.

Pero no podemos dar marcha atrás, no podemos borrar lo que quedó grabado. Y lo mas triste es que dejamos “arrugas” en muchos corazones. Desde hoy, sé más compresivo y más paciente.
Cuando sientas ganas de estallar recuerda “El papel arrugado”.

Tomado de aquí
Vídeo del programa REDES
Aquí también está esta reflexión

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Por ejemplo:

a x 10 elevado a ¨n¨

 Esto significa:

-¨a¨ un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.

-¨n¨ un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.


 Blibliografía

Notación Científica

                    

            

La notación científica es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Ejemplos de Notación científica: 

Bibliografia

NOTACIÓN CIENTÍFICA Y UNIDADES DE MEDIDA.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es una de las principales aplicaciones de las potencias de exponente entero. Se trata de una forma de escribir números especialmente útil cuando trabajamos con cantidades muy grandes o muy pequeñas. De forma general, un número está expresado en notación científica si está escrito de la siguiente forma:

    a, bc …. x 10 elevado a n.

UNIDADES DE MEDIDA.

Una unidad de medida es un valor de una determinada magnitud que se establece como patrón. De esta forma, para medir dicha magnitud comparamos lo que medimos con la unidad de medida y determinamos cuántas veces la contiene.

Aquí tienes los prefijos con los que se nombran los múltiplos más habituales, el símbolo con el que se representan y su valor:

 MÚLTIPLOS

PREFIJOS    SÍMBOLOS     EQUIVALENCIA

TERA                   T                          10 elevado a 12

GIGA                   G                          10 elevado a 9

MEGA                  M                         10 elevado a 6

KILO                    K                          10 elevado a 3

HECTO                 h                           10 elevado a 2

DECA                   da                          10 elevado a 1

SUBMÚLTIPLOS

PREFIJOS    SÍMBOLOS   EQUIVALENCIA

DECI                      d                      10 elevado a - 1

CENTI                   c                       10 elevado a  - 2

MILI                      m                      10 elevado a - 3

MICRO               “micro”               10 elevado a - 6

NANO                    n                       10 elevado a – 9

PICO                      p                        10 elevado a – 12 

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES:

Para sumar y restar fracciones hay que distinguir entre:

Fracciones con igual denominador

Fracciones con distinto denominador

 FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR:

En este caso para sumar o restar fracciones se mantiene constante el denominador y se suman o restan sus numeradores.

A)    Veamos un ejemplo:

7/5 + 3/5 +4/5

Sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

7+3+4/5 = 14/5

B)     Veamos otro ejemplo:

9/6 - 2/6 – 4/6

Restamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

9-2-4/6 = 3/6   

Bibliografía 

¿Cómo se suman las fracciones?

Hay dos casos:

1.    La suma de dos o más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:

                         

4		2		6
----	+	----	=	---
5		5		5

2.    La suma de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso: 

Bibliografía:http://www.estudiantes.info/matematicas/suma_de_fracciones.htm

Repaso de números primos

El número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos, en si mismo y el 1.

El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores de 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

¿Que es más ventajoso tener una cuenta de 3.000 euros con 2% o tener tres cuentas de 1.000 euros con 2% cada una?

Las dos son iguales, para poder averiguarlo y demostrarlo aremos lo siguiente:

Multiplicamos y dividimos 3.000x2    tachamos los dos ceros de 3.000 y de 100.

100                                                                                                           

Y ahora multiplicamos  30

                                     X  2

                                      60

Ahora 1.000x2%  tachamos otra vez los ceros de 1.000 y de 100.

            100

Y ahora multiplicamos 10

                                     X 2

                                      20

Ahora 1.000x2%  tachamos otra vez los ceros de 1.000 y de 100.

            100

Y ahora multiplicamos 10

                                     X 2

                                      20

Ahora 1.000x2%  tachamos otra vez los ceros de 1.000 y de 100.

            100

Y ahora multiplicamos 10

                                     X 2

                                      20

Luego sumamos los resultados de las multiplicaciones y nos dará:

              20

              20

              20

              60  Esto demuestra que es igual el %  de una cuenta de 3.000 que tres cuentas                                    de 1.000    

Maginitudes Proporcionales.

¿Cuándo decimos que dos magnitudes son proporcionales que pretendemos decir ?

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas  , por un número , la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.

MAGNITUDES PROPORCIONALES

La proporcionalidad es una relación o razón entre magnitudes medibles.

El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para  expresar las relaciones igualdad entre magnitudes.

Bibliografía

Como calcular el tanto por ciento

Cuando hablamos de un tanto por ciento nos referimos a las “cantidad de rendimiento útil que dan 100 unidades de algo en su estado normal” y se representa mediante el símbolo %.

A la hora de calcular un tanto por ciento, se no facilitará el porcentaje en cuestión y la cifra sobre la que debemos aplicarlo. Por ejemplo supongamos que debemos calcular el 30% de 1200.

Para calcular este tanto por ciento multiplicaremos el numero del porcentaje por la cantidad: 30 x 1200 = 36.000

Números reales:

Ejercicios I
Ejercicios II

Presentación de la asignatura

• PD página 124

• Contenidos: PD Página....

• Nuestra temporalización:

----1ª Evaluación
1.      Números reales y proporcionalidad.
2.      Átomos, elementos y compuestos.
3.      Ecuaciones y proyectos tecnológicos.
---- 2ª Evaluación
4. La Tierra, la energía externa y los sucesos aleatorios.
5. Agentes geológicos externos y rocas sedimentarias.
6. Funciones algebraicas y movimiento.
7. Ecología, recursos y funciones exponenciales.
---- 3ª Evaluación
8. Cambios químicos y medioambiente.
9. Semejanza de triángulos y fuerzas.
10. Electricidad y magnetismo.